【通信原理】第二章 |
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第二章 确知信号确知信号的类型两类信号的划分
确知信号的频域性质功率信号的频谱能量信号的频谱密度能量信号的能量谱密度功率信号的功率谱密度
确知信号的时域性质能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数能量信号的互相关函数功率信号的互相关函数
第二章 确知信号
确知信号的类型
确知信号： 其取指在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可用数学公式表示他在任何时间的取值
按照是否具有周期重复性，可分为周期信号和非周期信号按照能量是否有限区分，可分为能量信号和功率信号 用S代表信号的电流或电压计算信号功率，若信号电压和电流的值随时间变化，则S可以改写为时间t的函数S(t)，此时，信号能量E应当是信号瞬时功率的积分，其中E的单位是焦耳J
E
=
∫
−
∞
∞
s
2
(
t
)
d
t
E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)dt}
E=∫−∞∞s2(t)dt若能量的信号是一个正的有限值，则称此信号为能量信号，将信号的平均功率定义为
P
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
−
T
2
T
2
s
2
(
t
)
d
t
P = \lim_{T\to∞}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)dt
P=T→∞limT1∫−2T2Ts2(t)dt
两类信号的划分
能量信号： 其能量等于一个有限正值，但平均功率为零功率信号： 其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大
注意： 能量信号和功率信号的分类对于非确知信号也使用
确知信号的频域性质
频率特性，由各个频率分量的分布表示信号的频率特性
功率信号的频谱能量信号的频谱密度能量信号的能量谱密度功率信号的功率谱密度
功率信号的频谱
设一个周期性功率信号s(t)都周期为T0，则将其频谱函数定义为
C
n
=
C
(
n
f
0
)
=
1
T
∫
−
T
0
2
T
0
2
s
(
t
)
e
−
j
2
π
n
f
0
t
d
t
C_n = C(nf_0) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s(t)e^{-j2πnf_0t}dt}
Cn=C(nf0)=T1∫−2T02T0s(t)e−j2πnf0tdt周期信号可以展开为如下傅里叶级数
s
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
j
2
π
n
t
T
0
s(t) = \sum_{n = -∞}^{∞}{C_ne^{\frac{j2πnt}{T_0}}}
s(t)=n=−∞∑∞CneT0j2πnt在数学上能将周期性函数展开成傅里叶级数的狄利克雷条件，一般信号都是能满足的n = 0时，
C
0
=
1
T
0
∫
−
T
0
2
T
0
2
s
(
t
)
d
t
C_0 = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{s(t)dt}
C0=T01∫−2T02T0s(t)dt他是信号s(t)的时间平均值，即直流分量
能量信号的频谱密度
设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度
S
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
e
−
j
2
π
f
t
d
t
S(f) = \int_{-∞}^{∞}{s(t)e^{-j2πft}dt}
S(f)=∫−∞∞s(t)e−j2πftdt而S(f)的逆傅里叶变换就是原信号
s
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
S
(
f
)
e
j
2
π
f
t
d
f
s(t) = \int_{-∞}^{∞}S(f)e^{j2πft}df
s(t)=∫−∞∞S(f)ej2πftdf
重要结论 对于门函数(矩形) S(f) = 面积·sinc(变量·宽度)s(t) = 面积·sinc(变量·宽度) 三角形状的函数 S(f) = 面积·sinc2(变量·宽度/2)s(t) = 面积·sinc2(变量·宽度/2) 能量信号的能量谱密度 设一个能量信号s(t)的能量为E，则此信号的能量为 E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)}dt E=∫−∞∞s2(t)dt若此信号的傅里叶变换(频谱密度)为S(f)，则由巴塞伐尔定理得 E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f E = \int_{-∞}^{∞}{s^2(t)}dt = \int_{-∞}^{∞}{|S(f)|^2}df E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df 功率信号的功率谱密度 由于功率信号有无穷大的能量，故首先将信号s(t)截短为长度等于T的一个截短信号sT(t)，该截短信号就成为了一个能量信号对于此能量信号，就可以使用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(f)|2由巴塞伐尔定理有 E = ∫ − T 2 T 2 s T 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f E = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s_T^2(t)}dt = \int_{-∞}^{∞}{|S_T(f)|^2}df E=∫−2T2TsT2(t)dt=∫−∞∞∣ST(f)∣2dflim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}{|S_T(f)|^2} T→∞limT1∣ST(f)∣2 信号的功率谱密度P(f) P ( f ) = lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f) = \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}{|S_T(f)|^2} P(f)=T→∞limT1∣ST(f)∣2信号功率为 P = lim T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f P = \lim_{T\to∞}{\frac{1}{T}}\int_{-∞}^{∞}{|S_T(f)|^2}df = \int_{-∞}^{∞}{P(f)}df P=T→∞limT1∫−∞∞∣ST(f)∣2df=∫−∞∞P(f)df 确知信号的时域性质 能量信号的自相关函数 能量信号s(t)的自相关函数定义为 R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t − ∞ < τ < ∞ R(τ) = \int_{-∞}^{∞}{s(t)s(t+τ)}dt -∞ < τ < ∞ R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt−∞ |
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